A solução para as concentrações são exponenciais.

Para a evolução da distribuição acho que é esta a equação:

usando $\sum_{\langle j \rangle}\phi_j=z\langle\phi\rangle$ e $\sum_{\langle j \rangle}\xi_j=z N_s^{\frac{1}{2}}$.

De forma mais compacta se definirmos gradiente de $\Lambda$ coordenadas e vetores da rede, temos:

Outro cálculo sem considerar a expansão em poências de $N_s$: nd.pdf