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nuno:fiscomp_2015_1 [2015/06/03 18:39] nuno |
nuno:fiscomp_2015_1 [2015/07/21 17:17] (atual) nuno |
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| - | **Mapa Logístico e Caos** (entregar **até o fim do período letivo, 12/07/15**) | + | **Mapa Logístico e Caos** (entregar **até 19/07/15 (alunos da graduação) e 15/07/15 (alunos da PG)**) |
| * Considere o mapa logístico x(t+1)=λx(t)[1-x(t)]. Começando com uma condição inicial x(0)=0,0001, mostre que para λ=1,01 o sistema se estabiliza no ponto fixo x*=0,00990 depois de cerca de 20min. Neste escala de tempo, lembre-se que cada iteração do mapa corresponde a 1s. | * Considere o mapa logístico x(t+1)=λx(t)[1-x(t)]. Começando com uma condição inicial x(0)=0,0001, mostre que para λ=1,01 o sistema se estabiliza no ponto fixo x*=0,00990 depois de cerca de 20min. Neste escala de tempo, lembre-se que cada iteração do mapa corresponde a 1s. | ||
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| * Construa o gráfico de x' contra x para λ=3,1. Comece a escada a partir de x=0,2. Plote a escada, a parábola λx(1-x) e a reta x'=x no mesmo gráfico. Você consegue identificar o valor do atrator x*? Você deverá verificar que há mais de 1 atrator neste caso. Determine os valores destes atratores usando o método discutido em sala. Repita para λ=3,47 e λ=3,55. | * Construa o gráfico de x' contra x para λ=3,1. Comece a escada a partir de x=0,2. Plote a escada, a parábola λx(1-x) e a reta x'=x no mesmo gráfico. Você consegue identificar o valor do atrator x*? Você deverá verificar que há mais de 1 atrator neste caso. Determine os valores destes atratores usando o método discutido em sala. Repita para λ=3,47 e λ=3,55. | ||
| - | * Itere umas dez mil vezes o mapa logístico para λ=0,9. Comece em t=0 com um valor inicial arbitrário, x=0,1, e armazene num arquivo os dados x e t. Plote este gráfico e observe que você obterá o decaimento temporal de x(t). Que função é esta que descreve o decaimento no tempo? quais os valores dos parâmetros que definem essa função? | + | * Itere umas dez mil vezes o mapa logístico para λ=0,9. Comece em t=0 com um valor inicial arbitrário, x=0,1, e armazene num arquivo os dados x e t. Plote este gráfico e observe que você obterá o decaimento temporal de x(t). Que função é esta que descreve o decaimento no tempo? |
| - | * Itere umas dez mil vezes o mapa logístico na situação crítica, λ=1. Comece em t=0 com um valor inicial arbitrário, x=0,1, e armazene num arquivo os dados x e t. Plote este gráfico e observe que você obterá o decaimento temporal de x(t). Que função é esta que descreve o decaimento no tempo? quais os valores dos parâmetros que definem essa função? | + | * Itere umas dez mil vezes o mapa logístico na situação crítica, λ=1. Comece em t=0 com um valor inicial arbitrário, x=0,1, e armazene num arquivo os dados x e t. Plote este gráfico e observe que você obterá o decaimento temporal de x(t). Que função é esta que descreve o decaimento no tempo? |
| * Construa o mapa de bifurcações para 0.0 < λ < 4.0 | * Construa o mapa de bifurcações para 0.0 < λ < 4.0 | ||
| Linha 107: | Linha 107: | ||
| - | **Difusão de Calor e Caminhadas Aleatórias** (entregar **até o fim do período letivo, 12/07/15**) | + | **Difusão de Calor e Caminhadas Aleatórias** (entregar **até 19/07/15 (alunos da graduação) e 15/07/15 (alunos da PG)**) |
| * Uma barra metálica com temperatura inicialmente uniforme é submetida a um choque térmico localizado no seu centro. Escolha a barra entre x=0 e x=+L, ou entre x=-L/2 e x=+L/2, a seu critério. Considere a condição inicial u(x,0) nula em todos os pontos da barra, exceto no centro, onde temos u=1. Considere Δx=Δt=1, em unidades arbitrárias nas quais o coeficiente de difusão vale D=0,2. Determine numericamente através do método de Euler a distribuição de temperaturas ao longo da barra, ou seja, a função u_x,t para t=1,2,4,8,16,32,64,128,256,512 e 1024. | * Uma barra metálica com temperatura inicialmente uniforme é submetida a um choque térmico localizado no seu centro. Escolha a barra entre x=0 e x=+L, ou entre x=-L/2 e x=+L/2, a seu critério. Considere a condição inicial u(x,0) nula em todos os pontos da barra, exceto no centro, onde temos u=1. Considere Δx=Δt=1, em unidades arbitrárias nas quais o coeficiente de difusão vale D=0,2. Determine numericamente através do método de Euler a distribuição de temperaturas ao longo da barra, ou seja, a função u_x,t para t=1,2,4,8,16,32,64,128,256,512 e 1024. | ||
| - | * Com os dados do problema anterior, calcule a dispersão Δ(t) nos mesmos instantes anteriores e mostre que Δ(t) ~ t^{1/2}. Quanto vale a constante de proporcionalidade da relação anterior? Dê o resultado numérico e verifique também o valor dessa constante para D=0,1 e 0,3. Você deverá estimar a relação entre essa constante de proporcionalidade e o coeficiente de difusão D baseado nestes 3 valores. | + | * Com os dados do problema anterior, calcule a dispersão Δ(t) nos mesmos instantes anteriores e mostre que Δ(t) ~ t^{1/2}. Quanto vale a constante de proporcionalidade da relação anterior? Dê o resultado numérico e verifique que essa constante vale √(2D). Verifique também essa relação dessa constante de proporcionalidade para D=0,1 e 0,3. |
| - | * Faça a simulação do problema do caminhante aleatório em 1 dimensão utilizando p=q=1/2. Cada caminhante deve dar 100.000 passos, e faça médias sobre 10.000 caminhantes independentes. Plote num gráfico os os valores médios <x> e <x^2> em função do tempo, e em outro gráfico a dispersão Δ(t) = <x^2> - <x>^2. Como estes valores crescem com o tempo? | + | * Faça a simulação do problema do caminhante aleatório em 1 dimensão utilizando p=q=1/2. Cada caminhante deve dar 100.000 passos, e faça médias sobre 10.000 caminhantes independentes. Plote num gráfico os os valores médios <x> e <x^2> em função do tempo, e em outro gráfico a dispersão Δ(t) = √(<x^2> - <x>^2). Como estes valores crescem com o tempo? |
| * Estime também a distribuição final de posições dos 10.000 caminhantes, após os 100.000 passos. Coloque na escala log-linear, e você deverá observar uma parábola. Que distribuição é essa? ela mudará seu formato se você utilizar valores diferentes de p? | * Estime também a distribuição final de posições dos 10.000 caminhantes, após os 100.000 passos. Coloque na escala log-linear, e você deverá observar uma parábola. Que distribuição é essa? ela mudará seu formato se você utilizar valores diferentes de p? | ||
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| - | **Geradores de Números Aleatórios** (entregar **até o fim do período letivo, 12/07/15**) | + | **Geradores de Números Aleatórios** (entregar **até 19/07/15 (alunos da graduação) e 15/07/15 (alunos da PG)**) |
| - | * Vamos considerar o gerador linear congruencial r = (a*r) mod m. Considere as escolhas: (i) a=85, m=256; (ii) a=899, m=32768; (iii) a=16807, m=4294967295. Calcule o período destes geradores, considerando como semente r=27. | + | * Vamos considerar o gerador linear congruencial r = (a*r) mod m. Considere as escolhas: (i) a=85, m=256; (ii) a=899, m=32768; (iii) a=16807, m=4294967295. Calcule o período destes geradores, considerando como semente r=27. |
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| - | * Construa histogramas dos números aleatórios gerados pelos geradores (ii) e (iii) do item anterior, para diferentes valores do total de números aleatórios gerados (10^{2}, 10^{3}, 10^{4}, 10^{5}, 10^{6} e 10^{7}). | + | |
| * Dada um probabilidade p (faça separadamente para p=0.3, 0.5 e 0.9), gere N números aleatórios usando o gerador (iii) acima, normalizando estes números para ficarem no intervalo [0,1]. Conte o número n deles que se situam entre 0 e p. A fração n/N deve reproduzir o valor de p fornecido. Considerar N=10^{3}, 10^{4}, 10^{5}, 10^{6}, 10^{7} e 10^{8}. Para verificar o resultado, plote a fração n/N contra N, e juntamente plote uma reta horizontal com o valor de p. Utilize a escala log para o eixo x, ficará mais fácil de visualizar. | * Dada um probabilidade p (faça separadamente para p=0.3, 0.5 e 0.9), gere N números aleatórios usando o gerador (iii) acima, normalizando estes números para ficarem no intervalo [0,1]. Conte o número n deles que se situam entre 0 e p. A fração n/N deve reproduzir o valor de p fornecido. Considerar N=10^{3}, 10^{4}, 10^{5}, 10^{6}, 10^{7} e 10^{8}. Para verificar o resultado, plote a fração n/N contra N, e juntamente plote uma reta horizontal com o valor de p. Utilize a escala log para o eixo x, ficará mais fácil de visualizar. | ||
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| - | **Método de Monte Carlo** (entregar **até o fim do período letivo, 12/07/15**) | + | **Método de Monte Carlo e o modelo de Ising** (entregar **até 19/07/15 (alunos da graduação) e 15/07/15 (alunos da PG)**) |
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| + | * Simule o modelo de Ising na rede quadrada L x L, com condições de contorno periódicas, considerando L=128. Inicie com uma configuração aleatória de spins, com 50% de spins +1 e 50% de spins -1. Plote curvas da magnetização por spin em função do tempo. Você deve ver a magnetização flutuar e variar no tempo, até atingir o equilíbrio. Considere diferentes temperaturas, algumas abaixo de Tc=2.27 (por exemplo T=1.0, 1.5, 1.8, 2.0 e 2.2) e outras acima de Tc (por exemplo 2.5, 2.7, 3.0 e 3.5). Não é necessário fazer médias sobre simulações diferentes. | ||
| + | * Simule o modelo de Ising na rede quadrada L x L, com condições de contorno periódicas, considerando L=16, 24, 32, 64 e 128. Plote as curvas das quantidades de interesse no equilíbrio (magnetização por spin média, energia média, susceptibilidade e calor específico) em função da temperatura para os 5 tamanhos de rede. Lembre de descartar alguns passos de Monte Carlo para garantir que o sistema esteja no equilíbrio. Faça médias temporais sobre uma quantidade razoável de passos de Monte Carlo. Não é necessário fazer médias sobre simulações diferentes. Verifique e discuta os efeitos de tamanho finito que falamos em sala, assim como o comportamento esperado para as quantidades de interesse. | ||
| + | ===== Notas ===== | ||
| + | * {{:nuno:notas_fiscomp_2015_1_graduacao_novo.pdf|Alunos de Graduação}} | ||
| + | * {{:nuno:notas_fiscomp_2015_1_pg.pdf|Alunos de Pós-Graduação}} | ||
