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nuno:fiscomp_2017_1 [2017/03/14 15:30] nuno |
nuno:fiscomp_2017_1 [2017/07/20 14:23] (atual) nuno |
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| Linha 53: | Linha 53: | ||
| ===== Listas de Exercícios ===== | ===== Listas de Exercícios ===== | ||
| - | <note important>Como falei na 1a aula, faça um pdf com todos os seus resultados (gráficos, valores dos parâmetros de ajuste, discussão, etc) e me envie por email: nuno@if.uff.br</note> | + | <note important>Como falei na 1a aula, faça um pdf com todos os seus resultados (gráficos, valores dos parâmetros de ajuste, discussão, etc) e me envie por email: nuno@mail.if.uff.br</note> |
| **Construção de Histogramas** | **Construção de Histogramas** | ||
| Linha 60: | Linha 60: | ||
| * Assim como discutimos em sala, baixe {{:nuno:tempos_de_relaxacao.txt|este arquivo}}, que contém tempos de relaxação de um modelo estatístico. Utilize inicialmente um intervalo entre pontos delta=100, e calcule quantos valores dos mencionados tempos ocorrem e plote o histograma no gnuplot ou no seu programa preferido de gráficos. Se for no gnuplot, vc pode gerar um arquivo do tipo PS ou EPS e me enviar por email. Depois, experimente outros valores de delta como delta=10, 50 e 200, e faça comparações entre os resultados. ESTE EXERCÍCIO NÃO FAZ PARTE DA AVALIAÇÃO! | * Assim como discutimos em sala, baixe {{:nuno:tempos_de_relaxacao.txt|este arquivo}}, que contém tempos de relaxação de um modelo estatístico. Utilize inicialmente um intervalo entre pontos delta=100, e calcule quantos valores dos mencionados tempos ocorrem e plote o histograma no gnuplot ou no seu programa preferido de gráficos. Se for no gnuplot, vc pode gerar um arquivo do tipo PS ou EPS e me enviar por email. Depois, experimente outros valores de delta como delta=10, 50 e 200, e faça comparações entre os resultados. ESTE EXERCÍCIO NÃO FAZ PARTE DA AVALIAÇÃO! | ||
| - | **Decaimento Nuclear** (entregar **até ??/??/17**) | + | **Decaimento Nuclear** (entregar **até 10/04/17**) |
| - | * Utilize o mapa N(t+1) = N(t)*[1-α] e construa um gráfico do número de núcleos ainda radioativos em função do tempo. Considere como condição inicial N(0)=1000 e utilize o valor de α do rubídio 82, que é 0,00924 1/s. Para simplificar, imprima no arquivo de dados apenas os valores obtidos a cada 10s, e comece com um tempo máximo de 100 s. | + | * Utilize o mapa N(t+1) = N(t)*[1-α] e construa um gráfico do número de núcleos ainda radioativos em função do tempo. Considere como condição inicial N(0)=1000 e utilize o valor de α do rubídio 82, que é 0,00924 1/s. Se você desejar, para simplificar imprima no arquivo de dados apenas os valores obtidos a cada 10s, e comece com um tempo máximo de 100 s. |
| * Construa o mesmo gráfico anterior, com os mesmos dados, adotando desta vez uma escala logarítmica (com log na base neperiana) no eixo y. Isto pode ser feito de 2 formas: (i) calculado no seu programa o ln dos valores obtidos para N(t) e plotando numa 3a coluna do arquivo de dados, ou (ii) utilizando os comandos do gnuplot para calcular o ln a partir dos dados originais de N(t). Seu gráfico tem o formato linear desta vez? | * Construa o mesmo gráfico anterior, com os mesmos dados, adotando desta vez uma escala logarítmica (com log na base neperiana) no eixo y. Isto pode ser feito de 2 formas: (i) calculado no seu programa o ln dos valores obtidos para N(t) e plotando numa 3a coluna do arquivo de dados, ou (ii) utilizando os comandos do gnuplot para calcular o ln a partir dos dados originais de N(t). Seu gráfico tem o formato linear desta vez? | ||
| * Meça o coeficiente angular da reta obtida no problema anterior e compare com a constante α do rubídio 82 (0,00924 1/s). Neste caso, mostre que a forma analítica que descreve o problema é N(t)=N(0)*exp(-αt). | * Meça o coeficiente angular da reta obtida no problema anterior e compare com a constante α do rubídio 82 (0,00924 1/s). Neste caso, mostre que a forma analítica que descreve o problema é N(t)=N(0)*exp(-αt). | ||
| Linha 68: | Linha 68: | ||
| - | **Integração Numérica de Equações Diferenciais** (entregar **até ??/??/17**) | + | **Integração Numérica de Equações Diferenciais** (entregar **até 28/04/17**) |
| * Calcule a derivada numérica da função f(x)=[sen(x^2) exp(x/3)]/[√(x^2+4)] no ponto x=3 usando o método de Euler simples com passo de discretização entre Δt=10^{-8} e Δt=1 (ou seja, 10^{-8}, 10^{-7}, 10^{-6},..., 1) e faça um gráfico mostrando a diferença relativa entre a derivada numérica e o valor exato da derivada. Entre quais valores de Δt a aproximação é aceitável? | * Calcule a derivada numérica da função f(x)=[sen(x^2) exp(x/3)]/[√(x^2+4)] no ponto x=3 usando o método de Euler simples com passo de discretização entre Δt=10^{-8} e Δt=1 (ou seja, 10^{-8}, 10^{-7}, 10^{-6},..., 1) e faça um gráfico mostrando a diferença relativa entre a derivada numérica e o valor exato da derivada. Entre quais valores de Δt a aproximação é aceitável? | ||
| Linha 76: | Linha 76: | ||
| + | **Pêndulo** (entregar **até 22/05/17**) | ||
| - | + | * Resolva numericamente a equação do pêndulo simples através do mapa iterativo gerado pelo uso do método de Euler, com os dados L=2,00 m e v_o=1,00 m/s, e plote θ em função do tempo t. Escolha um intervalo Δt adequado à precisão compatível com a dos dados apresentados. Além de θ_o=0, você necessitará conhecer a priori o valor de θ_1, a partir da condição inicial dθ/dt=v_o/L. Basta notar que a derivada de θ(t) no instante t=0 pode ser escrita como dθ(t=0)/dt = θ_1/Δt. | |
| - | **Pêndulo** (entregar **até ??/??/17**) | + | |
| - | + | ||
| - | * Considere um pêndulo simples de comprimento L=2,00 m cuja velocidade inicial é v_o=1,00 m/s na posição vertical. O valor da aceleração local da gravidade é g=9,8 m/s^2. Dados estes valores, justifica-se ou não a aproximação de pequenas oscilações neste caso? | + | |
| - | * Resolva numericamente a equação do pêndulo simples através do mapa iterativo gerado pelo uso do método de Euler, com os mesmos dados anteriores (L=2,00 m e v_o=1,00 m/s) e plote θ em função do tempo t. Escolha um intervalo Δt adequado à precisão compatível com a dos dados apresentados. Além de θ_o=0, você necessitará conhecer a priori o valor de θ_1, a partir da condição inicial dθ/dt=v_o/L. Basta notar que a derivada de θ(t) no instante t=0 pode ser escrita como dθ(t=0)/dt = θ_1/Δt. | + | |
| * Mostre que o período do pêndulo vale T = 2π√(L/g) dentro da aproximação de pequenas oscilações, e verifique este resultado no caso do gráfico do problema anterior. Você pode fazer isso plotando os dados do item anterior e uma reta vertical com o resultado analítico T = 2π√(L/g). | * Mostre que o período do pêndulo vale T = 2π√(L/g) dentro da aproximação de pequenas oscilações, e verifique este resultado no caso do gráfico do problema anterior. Você pode fazer isso plotando os dados do item anterior e uma reta vertical com o resultado analítico T = 2π√(L/g). | ||
| - | * Compare os resultados obtidos no 2o item com a aproximação de pequenas oscilações, ou seja, plote os resultados analítico e numérico juntos no mesmo gráfico. | + | * Compare os resultados obtidos no 1o item com a aproximação de pequenas oscilações, ou seja, plote os resultados analítico e numérico juntos no mesmo gráfico. |
| - | * Repita o problema do item 2, desta vez usando uma velocidade inicial 5 vezes menor, v_o=0,200 m/s. Compare o período T e a amplitude θ_A obtidos com os valores previstos pela aproximação de pequenas oscilações. O acordo é bom? por quê? | + | * Repita o problema do item 1, desta vez usando uma velocidade inicial 5 vezes menor, v_o=0,200 m/s. Compare o período T e a amplitude θ_A obtidos com os valores previstos pela aproximação de pequenas oscilações. O acordo é bom? por quê? |
| * Repita novamente, desta vez usando uma velocidade inicial 5 vezes maior, v_o=5,00 m/s. Compare o período T e a amplitude θ_A obtidos com os valores previstos pela aproximação de pequenas oscilações. O acordo é bom? por quê? | * Repita novamente, desta vez usando uma velocidade inicial 5 vezes maior, v_o=5,00 m/s. Compare o período T e a amplitude θ_A obtidos com os valores previstos pela aproximação de pequenas oscilações. O acordo é bom? por quê? | ||
| * Repita o problema com diferentes valores de v_o, todos menores que o valor crítico v_c=2√(Lg), e meça o período T e a amplitude θ_A em cada caso. Construa um gráfico de T em função de θ_A. | * Repita o problema com diferentes valores de v_o, todos menores que o valor crítico v_c=2√(Lg), e meça o período T e a amplitude θ_A em cada caso. Construa um gráfico de T em função de θ_A. | ||
| Linha 91: | Linha 88: | ||
| - | **Mapa Logístico e Caos** (entregar **até ??/??/17**) | + | |
| + | **Mapa Logístico e Caos** (entregar **até 23/06/17**) | ||
| * Considere o mapa logístico x(t+1)=λx(t)[1-x(t)]. Começando com uma condição inicial x(0)=0,0001, mostre que para λ=1,01 o sistema se estabiliza no ponto fixo x*=0,00990 depois de cerca de 20min. Neste escala de tempo, lembre-se que cada iteração do mapa corresponde a 1s. | * Considere o mapa logístico x(t+1)=λx(t)[1-x(t)]. Começando com uma condição inicial x(0)=0,0001, mostre que para λ=1,01 o sistema se estabiliza no ponto fixo x*=0,00990 depois de cerca de 20min. Neste escala de tempo, lembre-se que cada iteração do mapa corresponde a 1s. | ||
| Linha 107: | Linha 105: | ||
| - | **Difusão de Calor e Caminhadas Aleatórias** (entregar **até ??/??/17**) | + | |
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| + | **Difusão de Calor e Caminhadas Aleatórias** (entregar **até 18/07/17**) | ||
| * Uma barra metálica com temperatura inicialmente uniforme é submetida a um choque térmico localizado no seu centro. Escolha a barra entre x=0 e x=+L, ou entre x=-L/2 e x=+L/2, a seu critério. Considere a condição inicial u(x,0) nula em todos os pontos da barra, exceto no centro, onde temos u=1. Considere Δx=Δt=1, em unidades arbitrárias nas quais o coeficiente de difusão vale D=0,2. Determine numericamente através do método de Euler a distribuição de temperaturas ao longo da barra, ou seja, a função u_x,t para t=1,2,4,8,16,32,64,128,256,512 e 1024. | * Uma barra metálica com temperatura inicialmente uniforme é submetida a um choque térmico localizado no seu centro. Escolha a barra entre x=0 e x=+L, ou entre x=-L/2 e x=+L/2, a seu critério. Considere a condição inicial u(x,0) nula em todos os pontos da barra, exceto no centro, onde temos u=1. Considere Δx=Δt=1, em unidades arbitrárias nas quais o coeficiente de difusão vale D=0,2. Determine numericamente através do método de Euler a distribuição de temperaturas ao longo da barra, ou seja, a função u_x,t para t=1,2,4,8,16,32,64,128,256,512 e 1024. | ||
| Linha 119: | Linha 119: | ||
| - | **Geradores de Números Aleatórios** (entregar **até ??/??/17**) | + | **Geradores de Números Aleatórios** (entregar **até 18/07/17**) |
| - | * Vamos considerar o gerador linear congruencial r = (a*r) mod m. Considere as escolhas: (i) a=85, m=256; (ii) a=899, m=32768; (iii) a=16807, m=4294967295. Calcule o período destes geradores, considerando como semente r=27. | + | * Vamos considerar o gerador linear congruencial r = (a*r) mod m. Considere as escolhas: (i) a=85, m=256; (ii) a=899, m=32768; (iii) a=16807, m=4294967295; (iv) a=16807, m=2147483647. Calcule o período destes geradores, considerando como semente r=27. Observe que você deve gerar uma quantidade de números aleatórios suficiente para cada caso, dado que o período destes geradores vai variar bastante. |
| - | * Dada um probabilidade p (faça separadamente para p=0.3, 0.5 e 0.9), gere N números aleatórios usando o gerador (iii) acima, normalizando estes números para ficarem no intervalo [0,1]. Conte o número n deles que se situam entre 0 e p. A fração n/N deve reproduzir o valor de p fornecido. Considerar N=10^{3}, 10^{4}, 10^{5}, 10^{6}, 10^{7} e 10^{8}. Para verificar o resultado, plote a fração n/N contra N, e juntamente plote uma reta horizontal com o valor de p. Utilize a escala log para o eixo x, ficará mais fácil de visualizar. | + | * Dada um probabilidade p (faça separadamente para p=0.3, 0.5 e 0.9), gere N números aleatórios usando o gerador (iv) acima, normalizando estes números para ficarem no intervalo [0,1]. Conte o número n deles que se situam entre 0 e p. A fração n/N deve reproduzir o valor de p fornecido. Considerar N=10^{3}, 10^{4}, 10^{5}, 10^{6}, 10^{7} e 10^{8}. Para verificar o resultado, plote a fração n/N contra N, e juntamente plote uma reta horizontal com o valor de p. Utilize a escala log para o eixo x, ficará mais fácil de visualizar. |
| - | * Gerar N pares (x,y) de números aleatórios com o gerador (iii), todos os números no intervalo [0,1]. Todos estes pontos estarão localizados no interior de um quadrado de lado unitário. Os pontos que satisfazem à condição x^{2} + y^{2} < 1 também estarão localizados no interior de 1/4 de uma circunferência de raio unitário. Conte este número n de pontos dentro do círculo e obtenha a estimativa para π através de π=4n/N, conforme discutido em sala. Faça para diferentes valores de N, tais como N=10^{3}, 10^{4}, 10^{5}, 10^{6}, 10^{7}, 10^{8} e 10^{9}, e plote o valor obtido π=4n/N contra N juntamente com uma reta horizontal com o valor π=3,141592. Utilize a escala log para o eixo x, ficará mais fácil de visualizar, e plote o eixo y no intervalo 3.12 < y < 3.18. | + | * Gerar N pares (x,y) de números aleatórios com o gerador (iv), todos os números no intervalo [0,1]. Todos estes pontos estarão localizados no interior de um quadrado de lado unitário. Os pontos que satisfazem à condição x^{2} + y^{2} < 1 também estarão localizados no interior de 1/4 de uma circunferência de raio unitário. Conte este número n de pontos dentro do círculo e obtenha a estimativa para π através de π=4n/N, conforme discutido em sala. Faça para diferentes valores de N, tais como N=10^{3}, 10^{4}, 10^{5}, 10^{6}, 10^{7}, 10^{8} e 10^{9}, e plote o valor obtido π=4n/N contra N juntamente com uma reta horizontal com o valor π=3,141592. Utilize a escala log para o eixo x, ficará mais fácil de visualizar, e plote o eixo y no intervalo 3.10 < y < 3.18. |
| - | **Método de Monte Carlo e o modelo de Ising** (entregar **??/??/17**) | + | **Método de Monte Carlo e o modelo de Ising** (entregar **até 18/07/17**) |
| * Simule o modelo de Ising na rede quadrada L x L, com condições de contorno periódicas, considerando L=128. Inicie com uma configuração aleatória de spins, com 50% de spins +1 e 50% de spins -1. Plote curvas da magnetização por spin em função do tempo. Você deve ver a magnetização flutuar e variar no tempo, até atingir o equilíbrio. Considere diferentes temperaturas, algumas abaixo de Tc=2.27 (por exemplo T=1.0, 1.5, 1.8, 2.0 e 2.2) e outras acima de Tc (por exemplo 2.5, 2.7, 3.0 e 3.5). Não é necessário fazer médias sobre simulações diferentes. | * Simule o modelo de Ising na rede quadrada L x L, com condições de contorno periódicas, considerando L=128. Inicie com uma configuração aleatória de spins, com 50% de spins +1 e 50% de spins -1. Plote curvas da magnetização por spin em função do tempo. Você deve ver a magnetização flutuar e variar no tempo, até atingir o equilíbrio. Considere diferentes temperaturas, algumas abaixo de Tc=2.27 (por exemplo T=1.0, 1.5, 1.8, 2.0 e 2.2) e outras acima de Tc (por exemplo 2.5, 2.7, 3.0 e 3.5). Não é necessário fazer médias sobre simulações diferentes. | ||
| * Simule o modelo de Ising na rede quadrada L x L, com condições de contorno periódicas, considerando L=16, 24, 32, 64 e 128. Plote as curvas das quantidades de interesse no equilíbrio (magnetização por spin média, energia média, susceptibilidade e calor específico) em função da temperatura para os 5 tamanhos de rede. Lembre de descartar alguns passos de Monte Carlo para garantir que o sistema esteja no equilíbrio. Faça médias temporais sobre uma quantidade razoável de passos de Monte Carlo. Não é necessário fazer médias sobre simulações diferentes. Verifique e discuta os efeitos de tamanho finito que falamos em sala, assim como o comportamento esperado para as quantidades de interesse. | * Simule o modelo de Ising na rede quadrada L x L, com condições de contorno periódicas, considerando L=16, 24, 32, 64 e 128. Plote as curvas das quantidades de interesse no equilíbrio (magnetização por spin média, energia média, susceptibilidade e calor específico) em função da temperatura para os 5 tamanhos de rede. Lembre de descartar alguns passos de Monte Carlo para garantir que o sistema esteja no equilíbrio. Faça médias temporais sobre uma quantidade razoável de passos de Monte Carlo. Não é necessário fazer médias sobre simulações diferentes. Verifique e discuta os efeitos de tamanho finito que falamos em sala, assim como o comportamento esperado para as quantidades de interesse. | ||
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| ===== Notas ===== | ===== Notas ===== | ||
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