Essa é uma revisão anterior do documento!
Neste curso estudaremos alguns métodos computacionais voltados para a solução de problemas de Física. Sempre que possível iremos tratar sistemas que possuem solução analítica, de forma a testarmos a eficiência dos métodos numéricos. Os tópicos vão desde a análise de sistemas físicos básicos descritos por equações diferenciais ordinárias ou parciais, até problemas de difusão, caos e modelos estatísticos.
Introdução à Modelagem Computacional em Física, Ajustes de Resultados Numéricos, Manipulação de Dados, Construção de Histogramas
Integração de Equações Diferenciais e Aplicações: Leis de Newton, Resfriamento de Fluidos, Decaimento Nuclear, Queda Livre, Pêndulo Simples e Amortecido, Difusão de Calor, Dinâmicas Populacionais, etc
Estatística e Simulação de Caminhadas Aleatórias, Caminhadas Aleatórias Modificadas (persistentes, auto-excludentes, restritas, etc), Tempo de Primeira Passagem, Aplicações
Método de Monte Carlo, Modelo de Ising e o Algoritmo de Metropolis, Análise de Tamanho Finito, Expoentes Críticos
Como falei na 1a aula, faça um pdf com todos os seus resultados (gráficos, valores dos parâmetros de ajuste, discussão, etc) e me envie por email: nuno@mail.if.uff.br
Construção de Histogramas
Assim como discutimos em sala, baixe
este arquivo, que contém tempos de relaxação de um modelo estatístico. Utilize inicialmente um intervalo entre pontos delta=100, e calcule quantos valores dos mencionados tempos ocorrem e plote o histograma no gnuplot ou no seu programa preferido de gráficos. Se for no gnuplot, vc pode gerar um arquivo do tipo PS ou EPS e me enviar por email. Depois, experimente outros valores de delta como delta=10, 50 e 200, e faça comparações entre os resultados. ESTE EXERCÍCIO NÃO FAZ PARTE DA AVALIAÇÃO!
Decaimento Nuclear (entregar até 10/04/17)
Utilize o mapa N(t+1) = N(t)*[1-α] e construa um gráfico do número de núcleos ainda radioativos em função do tempo. Considere como condição inicial N(0)=1000 e utilize o valor de α do rubídio 82, que é 0,00924 1/s. Se você desejar, para simplificar imprima no arquivo de dados apenas os valores obtidos a cada 10s, e comece com um tempo máximo de 100 s.
Construa o mesmo gráfico anterior, com os mesmos dados, adotando desta vez uma escala logarítmica (com log na base neperiana) no eixo y. Isto pode ser feito de 2 formas: (i) calculado no seu programa o ln dos valores obtidos para N(t) e plotando numa 3a coluna do arquivo de dados, ou (ii) utilizando os comandos do gnuplot para calcular o ln a partir dos dados originais de N(t). Seu gráfico tem o formato linear desta vez?
Meça o coeficiente angular da reta obtida no problema anterior e compare com a constante α do rubídio 82 (0,00924 1/s). Neste caso, mostre que a forma analítica que descreve o problema é N(t)=N(0)*exp(-αt).
Considere diferentes valores do tempo máximo de aplicação do mapa, como 100, 500 e 1000, e compare as estimativas obtidas para o coeficiente angular da reta.
Integração Numérica de Equações Diferenciais (entregar até 28/04/17)
Calcule a derivada numérica da função f(x)=[sen(x^2) exp(x/3)]/[√(x^2+4)] no ponto x=3 usando o método de Euler simples com passo de discretização entre Δt=10^{-8} e Δt=1 (ou seja, 10^{-8}, 10^{-7}, 10^{-6},…, 1) e faça um gráfico mostrando a diferença relativa entre a derivada numérica e o valor exato da derivada. Entre quais valores de Δt a aproximação é aceitável?
Integre a equação diferencial dy/dt - y = -(1/2)exp(t/2)sen(5t) + 5exp(t/2)cos(5t) com a condição inicial y(0)=1 com o método de Euler simples para diferentes valores de passo Δt=0.1, Δt=0.05, Δt=0.01, Δt=0.005 e Δt=0.001 e compare cada solução em t=1,2,3,4 e 5 com a solução exata y(t)=exp(t) + exp(t/2)sen(5t).
Faça um gráfico com a solução para Δt=0.05 entre t=0 e t=5 e a solução exata.
Repita o item anterior utilizando o método de Runge-Kutta de 2a ordem e de 4a ordem, ou seja, faça um gráfico com a solução para Δt=0.05 entre t=0 e t=5 (para os 2 métodos de Runge-Kutta) e a solução exata.
Paulo Murilo Castro de Oliveira, Suzana M. Moss de Oliveira, Física em Computadores, Coleção Tópicos de Física do CBPF, Editora Livraria da Física
Harvey Gould, Jan Tobochnik, An Introduction do Computer Simulation Methods: Applications to Physical Systems, 2nd Edition, Addison-Wesley Publishing Company
Tânia Tomé, Mário José de Oliveira, Dinâmica Estocástica e Irreversibilidade, Editora da Universidade de São Paulo (edUSP)
